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ORCID:  http://orcid.org/0009-0007-5754-5369
Document type: Dissertação
Access type: Acesso Aberto
Title: A inversão geométrica
Alternate title (s): Geometric inversion
Author: Costa, Julio Cesar
First Advisor: Almeida, Dulce Mary de
First member of the Committee: Piantella, Ana Carla
Second member of the Committee: Pinto, Aldemir Jose da Silva
Summary: O tema estudado nessa dissertação é a inversão geométrica, uma importante transformação que permite converter problemas aparentemente complicados em problemas análogos, mas com soluções mais simples. Por exemplo, permite demonstrar de forma simples e elegante o Teorema de Ptolomeu, a fórmula de Euler, o Teorema de Feuerbach, todas essas aplicações serão apresentadas no Capítulo 3. O texto estrutura-se em três capítulos. O Capítulo 1 é destinado aos conceitos preliminares, apresenta a caracterização da posição relativa de duas circunferências no plano, o conceito e a construção com régua e compasso das circunferências ex-inscritas aos lados de um triângulo, as construções geométricas das retas tangentes comuns a duas circunferências, bem como os conceitos de potência de um ponto em relação a uma circunferência e de pontos conjugados harmônicos em relação a dois pontos dados. O Capítulo 2 é destinado a definição da inversão geométrica e ao amplo estudo de suas propriedades, apresenta a caracterização do que ocorre com retas e circunferências quando submetidas a uma inversão, estuda a propriedade involutiva e a preservação de ângulos dessa transformação, apresenta a equivalência entre pontos inversos e conjugados harmônicos, bem como a caracterização de que uma circunferência é invariante pela inversão se e somente se é ortogonal à circunferência de inversão. O capítulo 3 é destinado às aplicações da Inversão geométrica citadas anteriormente e apresenta ainda, a construção com régua e compasso dos pontos de intersecção de uma reta com uma hipérbole e a solução de um problema de construção de triângulo. Para finalizar esperamos que este texto rico em ilustrações, fomentado com muitos exemplos e aplicações, embasado em sólida fundamentação teórica, contribua para um melhor entendimento dos aspectos matemáticos teóricos e geométricos das inversões em circunferências e seja uma referência para todos os estudantes que pretendam aprofundar seus estudos nesse tema.
Abstract: The subject studied in this dissertation is the geometric inversion, an important transformation that allows converting apparently complicated problems into analogous problems, but with simpler solutions. For example, it allows demonstrating in a simple and elegant way Ptolemy’s Theorem, Euler’s formula, Feuerbach’s Theorem, all these applications will be presented in Chapter 3. The text is structured in three chapters. Chapter 1 is devoted to preliminary concepts, it presents the characterization of the relative position of two circles in the plane, the concept and the construction with ruler and compass of the circles ex-inscribed to the sides of a triangle, the geometric constructions of the tangent lines common to the two circles, as well as the concepts of power of a point in relation to a circle and harmonic conjugate points in relation to two given points. Chapter 2 is devoted to the definition of geometric inversion and the extensive study of its properties, presents the characterization of what happens to straight lines and circles when subjected to an inversion, studies the involutive property and the preservation of angles of this transformation, presents the equivalence between inverse points and harmonic conjugates, as well as the characterization that a circle is invariant by inversion if and only if it is orthogonal to the inversion circle. Chapter 3 is dedicated to the previously mentioned applications of geometric inversion and also presents the construction with ruler and compass of the intersection points of a straight line with a hyperbola and the solution of a triangle construction problem. Finally, we hope that this text, rich in illustrations, provided with many examples and applications, based on a solid theoretical foundation, will contribute to a better understanding of the mathematical, theoretical and geometric aspects of inversions in circles and will be a reference for all students who intend to deepen their knowledge. studies on this topic.
Keywords: Teorema de Feuerbach
Problema de Apolônio
Inversão Geométrica
Feuerbach’s Theorem
Apolônio’s Problem
Geometric Inversion
Area (s) of CNPq: CNPQ::CIENCIAS EXATAS E DA TERRA::MATEMATICA
Language: por
Country: Brasil
Publisher: Universidade Federal de Uberlândia
Program: Programa de Pós-graduação em Matemática (Mestrado Profissional)
Quote: COSTA, Júlio César. A inversão geométrica. 2023. 100 f. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Uberlândia, Uberlândia, 2023. DOI http://doi.org/10.14393/ufu.di.2023.469.
Document identifier: http://doi.org/10.14393/ufu.di.2023.469
URI: https://repositorio.ufu.br/handle/123456789/39293
Date of defense: 13-Sep-2023
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